Zadanie 68

Dane jest: $\log_2{18} = c$. Mamy wykazać, że $\log_{3}{4} = \dfrac{4}{c-1}$.

Zapisujemy $c$ w postaci logarytmu o podstawie 2:
$ c = \log_2 18 $.

Obliczamy $c - 1$:
$ c - 1 = \log_2 18 - 1 = \log_2 18 - \log_2 2 $.
Korzystamy z własności logarytmów: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$:
$ c - 1 = \log_2 \dfrac{18}{2} = \log_2 9 $.

Zauważamy, że $9 = 3^2$, więc:
$ \log_2 9 = \log_2 (3^2) = 2 \log_2 3 $.
Zatem:
$ c - 1 = 2 \log_2 3 $.

Teraz rozpatrzmy wyrażenie $\dfrac{4}{c-1}$:
$ \dfrac{4}{c-1} = \dfrac{4}{2 \log_2 3} = \dfrac{2}{\log_2 3} $.

Teraz zajmijmy się $\log_3 4$. Skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
$ \log_3 4 = \dfrac{\log_2 4}{\log_2 3} $.
Ponieważ $4 = 2^2$, mamy:
$ \log_2 4 = 2 $.
Stąd:
$ \log_3 4 = \dfrac{2}{\log_2 3} $.

Porównujemy otrzymane wyrażenia:
$ \log_3 4 = \dfrac{2}{\log_2 3} $ oraz $ \dfrac{4}{c-1} = \dfrac{2}{\log_2 3} $.

Zatem:
$ \log_3 4 = \dfrac{4}{c-1} $.

Co należało wykazać.