Zadanie 69

Szukamy pola czworokąta wyznaczonego przez punkty wspólne prostych
$y = x + 4$, $y = x - 8$ z parabolą $y = x^2 - 3x - 8$.

1. Punkty przecięcia prostej $y = x + 4$ z parabolą
Rozwiązujemy układ:
$\begin{cases} y = x + 4 \ y = x^2 - 3x - 8 \end{cases}$
Podstawiamy $y$ z pierwszego równania do drugiego:
$x + 4 = x^2 - 3x - 8$
$0 = x^2 - 3x - 8 - x - 4$
$0 = x^2 - 4x - 12$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
$\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$
$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2}$
$x_1 = \dfrac{12}{2} = 6,\quad x_2 = \dfrac{-4}{2} = -2$

Dla $x = 6$: $y = 6 + 4 = 10$ ⇒ punkt $B = (6,10)$
Dla $x = -2$: $y = -2 + 4 = 2$ ⇒ punkt $A = (-2,2)$

2. Punkty przecięcia prostej $y = x - 8$ z parabolą
Rozwiązujemy układ:
$\begin{cases} y = x - 8 \ y = x^2 - 3x - 8 \end{cases}$
Podstawiamy:
$x - 8 = x^2 - 3x - 8$
$0 = x^2 - 3x - 8 - x + 8$
$0 = x^2 - 4x$
$x(x - 4) = 0$
$x_1 = 0,\quad x_2 = 4$

Dla $x = 0$: $y = 0 - 8 = -8$ ⇒ punkt $C = (0,-8)$
Dla $x = 4$: $y = 4 - 8 = -4$ ⇒ punkt $D = (4,-4)$

Mamy więc wierzchołki czworokąta: $A(-2,2)$, $B(6,10)$, $C(0,-8)$, $D(4,-4)$.

3. Uporządkowanie wierzchołków
Z prostego szkicu (lub z analizy położenia punktów) otrzymujemy kolejność wzdłuż brzegu czworokąta:
$C(0,-8),\ A(-2,2),\ B(6,10),\ D(4,-4)$.

4. Zastosowanie wzoru „sznurowadłowego” (Gaussa)
Dla czworokąta o wierzchołkach kolejno:
$(x_1,y_1) = (0,-8)$
$(x_2,y_2) = (-2,2)$
$(x_3,y_3) = (6,10)$
$(x_4,y_4) = (4,-4)$

Wzór na pole:
$P = \dfrac{1}{2}\left|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)\right|$.

Obliczamy krok po kroku:
$x_1y_2 = 0\cdot 2 = 0$
$x_2y_3 = (-2)\cdot 10 = -20$
$x_3y_4 = 6\cdot (-4) = -24$
$x_4y_1 = 4\cdot (-8) = -32$
Suma: $0 - 20 - 24 - 32 = -76$

$y_1x_2 = (-8)\cdot (-2) = 16$
$y_2x_3 = 2\cdot 6 = 12$
$y_3x_4 = 10\cdot 4 = 40$
$y_4x_1 = (-4)\cdot 0 = 0$
Suma: $16 + 12 + 40 + 0 = 68$

Podstawiamy do wzoru:
$P = \dfrac{1}{2}\left| -76 - 68 \right| = \dfrac{1}{2}\left| -144 \right| = \dfrac{144}{2} = 72$.

Odpowiedź: pole czworokąta wynosi $72$.