Zadanie 70

Szukamy równania okręgu przechodzącego przez punkty $A = (-5,3)$ i $B = (0,6)$, którego środek leży na prostej $x - 3y + 1 = 0$.

Oznaczmy środek okręgu przez $S = (x_0, y_0)$. Skoro leży on na prostej $x - 3y + 1 = 0$, to współrzędne $(x_0,y_0)$ spełniają równanie:
$ x_0 - 3y_0 + 1 = 0 $.

Okrąg przechodzi przez punkty $A$ i $B$, więc odległości od środka do tych punktów są równe (promień jest ten sam):
$ SA = SB $.
Zapisujemy to za pomocą odległości (bez pierwiastka, czyli przez kwadraty odległości):
$ (x_0 + 5)^2 + (y_0 - 3)^2 = (x_0 - 0)^2 + (y_0 - 6)^2 $.

Rozwijamy obie strony:
Lewa strona:
$(x_0 + 5)^2 + (y_0 - 3)^2 = x_0^2 + 10x_0 + 25 + y_0^2 - 6y_0 + 9$.
Czyli:
$= x_0^2 + y_0^2 + 10x_0 - 6y_0 + 34$.

Prawa strona:
$(x_0)^2 + (y_0 - 6)^2 = x_0^2 + y_0^2 - 12y_0 + 36$.

Zrównujemy obie strony:
$x_0^2 + y_0^2 + 10x_0 - 6y_0 + 34 = x_0^2 + y_0^2 - 12y_0 + 36$.
Skracamy $x_0^2$ i $y_0^2$ po obu stronach:
$10x_0 - 6y_0 + 34 = -12y_0 + 36$.

Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$10x_0 - 6y_0 + 34 + 12y_0 - 36 = 0$.
$10x_0 + 6y_0 - 2 = 0$.
Dzielimy przez $2$:
$5x_0 + 3y_0 - 1 = 0$.

Mamy więc układ dwóch równań liniowych dla $x_0, y_0$:
$\begin{cases} x_0 - 3y_0 + 1 = 0 \ 5x_0 + 3y_0 - 1 = 0 \end{cases}$

Z pierwszego równania:
$x_0 = 3y_0 - 1$.

Podstawiamy do drugiego:
$5(3y_0 - 1) + 3y_0 - 1 = 0$
$15y_0 - 5 + 3y_0 - 1 = 0$
$18y_0 - 6 = 0$
$18y_0 = 6$
$y_0 = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$.

Teraz $x_0 = 3\cdot\dfrac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Zatem środek okręgu to:
$S = (0, \dfrac{1}{3})$.

Obliczamy promień $r$ – korzystamy z odległości środka do punktu $B = (0,6)$:
$ r^2 = (0 - 0)^2 + \left(6 - \dfrac{1}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{18}{3} - \dfrac{1}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{17}{3}\right)^2 = \dfrac{289}{9}$.

Równanie okręgu o środku $(0,\dfrac{1}{3})$ i promieniu $r$ ma postać:
$ (x - 0)^2 + \left(y - \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{289}{9}$.

Możemy to zapisać jako:
$ x^2 + \left(y - \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{289}{9}$.

(Opcjonalnie) Postać ogólna równania okręgu:
Rozwijamy nawias:
$x^2 + \left(y^2 - \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{9}\right) = \dfrac{289}{9}$.
$x^2 + y^2 - \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{9} - \dfrac{289}{9} = 0$.
$x^2 + y^2 - \dfrac{2}{3}y - \dfrac{288}{9} = 0$.
$\dfrac{288}{9} = 32$, więc:
$x^2 + y^2 - \dfrac{2}{3}y - 32 = 0$.
Mnożymy obustronnie przez $3$:
$3x^2 + 3y^2 - 2y - 96 = 0$.

Ostatecznie równanie okręgu można podać w jednej z postaci:
$ \boxed{x^2 + \left(y - \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{289}{9}} $
lub w postaci ogólnej:
$ \boxed{3x^2 + 3y^2 - 2y - 96 = 0}. $