Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?
Szukamy czterocyfrowych liczb naturalnych, w których dokładnie jedna cyfra jest nieparzysta, a trzy cyfry są parzyste.
Cyfry parzyste: $0,2,4,6,8$ (5 cyfr).
Cyfry nieparzyste: $1,3,5,7,9$ (5 cyfr).
Pierwsza cyfra (tysiące) nie może być równa $0$.
Rozpatrzymy dwa przypadki:
Przypadek 1: cyfra nieparzysta jest na miejscu tysięcy.
Wtedy:
– cyfra tysięcy: nieparzysta – $5$ możliwości,
– pozostałe trzy miejsca: cyfry parzyste (mogą być zerami) – każde miejsce ma $5$ możliwości.
Liczba takich liczb:
5⋅53=54=625.
5⋅5
3
=5
4
=625.
Przypadek 2: cyfra nieparzysta jest na jednym z trzech ostatnich miejsc (setki, dziesiątki, jedności).
Wtedy:
– cyfra tysięcy: parzysta i różna od zera: $2,4,6,8$ – $4$ możliwości,
– wybieramy, na którym z trzech miejsc (setki, dziesiątki, jedności) będzie cyfra nieparzysta: $ \binom{3}{1} = 3 $ możliwości,
– cyfra nieparzysta: $5$ możliwości,
– pozostałe dwa miejsca: cyfry parzyste (w tym $0$) – po $5$ możliwości każde.
Liczba takich liczb:
4⋅3⋅5⋅52=4⋅3⋅53.
4⋅3⋅5⋅5
2
=4⋅3⋅5
3
.
Obliczamy: $5^3 = 125$, więc:
4⋅3⋅125=12⋅125=1500.
4⋅3⋅125=12⋅125=1500.
Razem liczba liczb spełniających warunek:
625+1500=2125.
625+1500=2125.
Odpowiedź: takich liczb jest $2125$.