Zadanie 71

Dane jest: $\log{x} = 5$. Mamy obliczyć wartość wyrażenia:
$\log{\dfrac{x}{\sqrt{x}}}$.

Najpierw zauważmy, że $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
Czyli zapisujemy wyrażenie w postaci potęgowej:
$\dfrac{x}{\sqrt{x}} = \dfrac{x}{x^{\frac{1}{2}}}$.

Korzystamy z własności potęg:
$\dfrac{x}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{1 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}$.

Teraz mamy:
$\log{\dfrac{x}{\sqrt{x}}} = \log{x^{\frac{1}{2}}}$.

Korzystamy z własności logarytmów:
$\log{x^{a}} = a \log{x}$.
Dla $a = \dfrac{1}{2}$ otrzymujemy:
$\log{x^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2}\log{x}$.

Podstawiamy daną wartość $\log{x} = 5$:
$\log{\dfrac{x}{\sqrt{x}}} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$.

Odpowiedź: $\log{\dfrac{x}{\sqrt{x}}} = \dfrac{5}{2}$.