Zadanie 71

Rozpatrujemy walec o promieniu podstawy $r$ i wysokości $h$, którego pole powierzchni całkowitej jest równe $P$.
Dla walca mamy:
$P = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ (dwie podstawy + powierzchnia boczna),
$V = \pi r^2 h$ (objętość).

Wyznaczamy $h$ z wzoru na pole powierzchni całkowitej:
$P = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
Dzielimy przez $2\pi$:
$\dfrac{P}{2\pi} = r^2 + r h$
$r h = \dfrac{P}{2\pi} - r^2$
$h = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{P}{2\pi} - r^2\right) = \dfrac{P}{2\pi r} - r$.

Podstawiamy $h$ do wzoru na objętość:
$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2\left(\dfrac{P}{2\pi r} - r\right)$.
Rozbijamy na dwa składniki:
$V(r) = \pi r^2 \cdot \dfrac{P}{2\pi r} - \pi r^2 \cdot r$
$V(r) = \dfrac{P r}{2} - \pi r^3$.

Maksymalizujemy $V(r)$ – liczymy pochodną po $r$:
$V'(r) = \dfrac{P}{2} - 3\pi r^2$.
Szukamy miejsca, gdzie $V'(r) = 0$:
$\dfrac{P}{2} - 3\pi r^2 = 0$
$3\pi r^2 = \dfrac{P}{2}$
$r^2 = \dfrac{P}{6\pi}$
$r = \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$ (bierzemy $r > 0$).

Obliczamy odpowiadającą wysokość $h$:
$h = \dfrac{P}{2\pi r} - r$.
Podstawiamy $r = \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$:
Najpierw zauważmy, że z równania $P = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ po podstawieniu $r^2 = \dfrac{P}{6\pi}$ dostajemy:
$P = 2\pi \cdot \dfrac{P}{6\pi} + 2\pi r h = \dfrac{P}{3} + 2\pi r h$.
Stąd:
$2\pi r h = P - \dfrac{P}{3} = \dfrac{2P}{3}$
$h = \dfrac{\dfrac{2P}{3}}{2\pi r} = \dfrac{P}{3\pi r}$.
A ponieważ $r^2 = \dfrac{P}{6\pi}$, to $P = 6\pi r^2$, więc:
$h = \dfrac{6\pi r^2}{3\pi r} = 2r$.

Czyli dla maksymalnej objętości walec spełnia warunek:
$h = 2r$, $r = \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$, $h = 2\sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$.

Obliczamy największą objętość $V_{\max}$:
$V_{\max} = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$.
Podstawiamy $r^2 = \dfrac{P}{6\pi}$ i $r = \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$:
$V_{\max} = 2\pi \cdot \dfrac{P}{6\pi} \cdot \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$
$V_{\max} = \dfrac{P}{3} \cdot \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$
$V_{\max} = \dfrac{P^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}}$.

Odpowiedzi:
– promień podstawy walca o maksymalnej objętości: $r = \sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$,
– wysokość tego walca: $h = 2\sqrt{\dfrac{P}{6\pi}}$,
– największa objętość: $V_{\max} = \dfrac{P^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}}$.