Zadanie 72

Chcemy udowodnić, że dla każdych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ zachodzi nierówność:
$ x(x-1) + y(y-1) \ge xy - 1 $.

Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:
$ x(x-1) + y(y-1) - xy + 1 \ge 0 $.

Rozwijamy nawiasy:
$ x(x-1) = x^2 - x $,
$ y(y-1) = y^2 - y $.
Podstawiamy:
$ x^2 - x + y^2 - y - xy + 1 \ge 0 $.

Porządkujemy wyrażenie:
$ x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \ge 0 $.

Spróbujemy zapisać lewą stronę jako sumę kwadratów (bo suma kwadratów jest zawsze nieujemna). Rozważmy wyrażenie:
$ (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 $.

Rozwijamy każdy kwadrat z osobna:
$ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $,
$ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 $,
$ (y-1)^2 = y^2 - 2y + 1 $.

Dodajemy te trzy wyrażenia:
$ (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = $
$ = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) $
$ = 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y + 2 $.

Wyłączamy $2$ przed nawias:
$ (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2\big( x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \big) $.

Stąd możemy wyrazić interesujące nas wyrażenie:
$ x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 = \dfrac{1}{2} \big( (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \big) $.

Każdy kwadrat jest nieujemny:
$ (x-y)^2 \ge 0 $,
$ (x-1)^2 \ge 0 $,
$ (y-1)^2 \ge 0 $.
Zatem ich suma też jest nieujemna:
$ (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0 $.
A więc także:
$ \dfrac{1}{2} \big( (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \big) \ge 0 $.

To oznacza, że:
$ x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \ge 0 $.
Wracając do pierwotnego zapisu:
$ x(x-1) + y(y-1) - xy + 1 \ge 0 $,
czyli równoważnie:
$ x(x-1) + y(y-1) \ge xy - 1 $.

W ten sposób pokazaliśmy, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$.