Zadanie 73

Mamy dany wielomian:
$w(x) = (x^2 - 2x + 5)^2 - x^4$.
Chcemy przedstawić go w postaci iloczynowej.

Krok 1. Zauważamy, że mamy tu różnicę kwadratów:
$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
W naszym przypadku:
$A = x^2 - 2x + 5$, $B = x^2$.
Zatem:
$w(x) = A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Krok 2. Podstawiamy $A$ i $B$ do wzoru:
$w(x) = \big((x^2 - 2x + 5) - x^2\big)\cdot\big((x^2 - 2x + 5) + x^2\big)$.

Krok 3. Uprośćmy każdy nawias osobno:
$(x^2 - 2x + 5) - x^2 = x^2 - 2x + 5 - x^2 = -2x + 5$,
$(x^2 - 2x + 5) + x^2 = x^2 - 2x + 5 + x^2 = 2x^2 - 2x + 5$.

Zatem:
$w(x) = (-2x + 5)(2x^2 - 2x + 5)$.

Krok 4. Możemy zapisać pierwszy nawias w postaci $5 - 2x$ (to ten sam wyraz):
$-2x + 5 = 5 - 2x$.
Ostatecznie:
$w(x) = (5 - 2x)(2x^2 - 2x + 5)$.

Odpowiedź: $w(x)$ w postaci iloczynowej to $ (5 - 2x)(2x^2 - 2x + 5)$.