Wykaż, że funkcja określona wzorem $f(x) = \frac{x-2}{x}$ jest rosnąca dla $x \in (0, \infty)$.
Chcemy wykazać, że funkcja $f(x) = \dfrac{x-2}{x}$ jest rosnąca dla $x \in (0, \infty)$.
Najpierw przekształcimy wzór funkcji do prostszej postaci:
$f(x) = \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{2}{x} = 1 - \dfrac{2}{x}$.
Zatem możemy zapisać funkcję jako:
$f(x) = 1 - \dfrac{2}{x}$.
Obliczamy pochodną funkcji $f(x)$ (dla $x \neq 0$):
Pochodna stałej $1$ wynosi $0$, a pochodna $-\dfrac{2}{x}$ to $-2 \cdot \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Wiemy, że $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}$.
Zatem:
$f'(x) = 0 - 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{2}{x^2}$.
Teraz sprawdzamy znak pochodnej na przedziale $(0, \infty)$:
Dla każdego $x > 0$ mamy $x^2 > 0$, więc mianownik $x^2$ jest dodatni.
Licznik jest równy $2$, czyli jest dodatni.
Zatem dla $x > 0$:
$f'(x) = \dfrac{2}{x^2} > 0$.
Wniosek z rachunku pochodnych:
Jeśli pochodna funkcji na danym przedziale jest dodatnia, to funkcja jest na tym przedziale rosnąca.
Ponieważ dla każdego $x \in (0, \infty)$ zachodzi $f'(x) > 0$, otrzymujemy, że funkcja $f$ jest rosnąca na przedziale $(0, \infty)$.
Odpowiedź: funkcja $f(x) = \dfrac{x-2}{x}$ jest rosnąca dla $x \in (0, \infty)$, ponieważ jej pochodna $f'(x) = \dfrac{2}{x^2}$ jest dodatnia na tym przedziale.