Zadanie 75

Chcemy ustalić, dla jakich wartości parametru $k$ równanie kwadratowe
$kx^2 + (k+1)x + k - 1 = 0$
ma dwa pierwiastki ujemne.

1. Najpierw zapisujemy współczynniki trójmianu kwadratowego:
$a = k,\quad b = k+1,\quad c = k-1.$
Żeby równanie było kwadratowe, musi być $a \neq 0$, czyli $k \neq 0$.

2. Warunki na dwa rzeczywiste pierwiastki to:
– $ \Delta > 0$, gdzie $\Delta$ to wyróżnik,
– $a \neq 0$.
Obliczamy wyróżnik:
$\Delta = b^2 - 4ac = (k+1)^2 - 4\cdot k \cdot (k-1).$
Rozwijamy:
$(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1,$
$4k(k-1) = 4k^2 - 4k.$
Zatem:
$\Delta = k^2 + 2k + 1 - (4k^2 - 4k) = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k = -3k^2 + 6k + 1.$

3. Warunek na dwa rzeczywiste pierwiastki:
$\Delta > 0 \iff -3k^2 + 6k + 1 > 0.$
Mnożymy obustronnie przez $-1$ (zmienia się znak nierówności):
$3k^2 - 6k - 1 < 0.$
Rozwiązujemy równanie kwadratowe $3k^2 - 6k - 1 = 0$:
$k_{1,2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2\cdot 3} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \dfrac{6 \pm \sqrt{48}}{6} = \dfrac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \dfrac{3 \pm 2\sqrt{3}}{3}.$
Ponieważ współczynnik przy $k^2$ jest dodatni, to:
$3k^2 - 6k - 1 < 0$ dla $k$ pomiędzy pierwiastkami, czyli
$k \in \left(\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3},\ \dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}\right).$
Dodatkowo pamiętamy: $k \neq 0$.

4. Teraz warunki, aby oba pierwiastki były ujemne.
Dla równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$ z dwoma rzeczywistymi pierwiastkami $x_1, x_2$ mamy:
– $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ (suma pierwiastków),
– $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ (iloczyn pierwiastków).
Dwa pierwiastki są ujemne, gdy:
– $x_1 + x_2 < 0$,
– $x_1 x_2 > 0.$

5. Obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków w naszym przypadku:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{k+1}{k},$
$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{k-1}{k}.$

6. Warunek $x_1 + x_2 < 0$:
$-\dfrac{k+1}{k} < 0.$
Rozpatrujemy dwa przypadki ze względu na znak $k$:
• jeśli $k > 0$, to znak ułamka zależy od licznika $-(k+1)$, a $k+1 > 0$, więc $-(k+1) < 0$ – wtedy cały ułamek jest ujemny.
Oznacza to, że dla $k > 0$ warunek $x_1 + x_2 < 0$ jest spełniony automatycznie.
• jeśli $k < 0$, to mnożąc nierówność przez $k$ (ujemne), zmieniamy znak:
$-(k+1) > 0 \iff k+1 < 0 \iff k < -1.$

Podsumowanie dla sumy:
– dla $k > 0$: warunek spełniony,
– dla $k < 0$: musi być $k < -1$.

7. Warunek $x_1 x_2 > 0$:
$\dfrac{k-1}{k} > 0.$
Znów rozpatrujemy przypadki:
• jeśli $k > 0$, to licznik też musi być dodatni: $k-1 > 0 \iff k > 1$,
• jeśli $k < 0$, to mnożenie przez liczbę ujemną odwraca nierówność:
$k-1 < 0 \iff k < 1$, co i tak jest spełnione dla wszystkich $k < 0$.

Podsumowanie dla iloczynu:
– dla $k > 0$: musi być $k > 1$,
– dla $k < 0$: warunek spełniony dla każdego $k < 0$.

8. Łączymy warunki z punktów 6 i 7 (suma ujemna i iloczyn dodatni):
– dla $k > 0$: z sumy mamy $k > 0$, z iloczynu $k > 1$, więc razem $k > 1$,
– dla $k < 0$: z sumy $k < -1$, z iloczynu każdy $k < 0$, więc razem $k < -1$.
Czyli:
$k > 1$ lub $k < -1$.

9. Teraz musimy jeszcze przeciąć to z warunkiem na dwa pierwiastki rzeczywiste ($\Delta > 0$):
$k \in \left(\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3},\ \dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}\right)$ oraz $k > 1$ lub $k < -1$.

Zauważmy, że:
$\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3} \approx -0{,}15,\quad \dfrac{3+2\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}15.$
Przedział, w którym $\Delta > 0$, to mniej więcej $(-0{,}15,\ 2{,}15)$.
• Część $k < -1$ leży poza tym przedziałem, więc ją odrzucamy.
• Część $k > 1$ przecina się z tym przedziałem w przedziale:
$k \in \left(1,\ \dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}\right).$

10. Pamiętamy jeszcze, że $k \neq 0$ – ale $0$ i tak nie należy do powyższego przedziału.

Ostateczny wynik:
Równanie $kx^2 + (k+1)x + k - 1 = 0$ ma dwa pierwiastki ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy
$k \in \left(1,\ \dfrac{3+2\sqrt{3}}{3}\right).$