Zadanie 75

Chcemy obliczyć wartość wyrażenia:
$b^2 + 2ab - 4a - 2b$,
jeśli wiadomo, że:
$2a + b = \sqrt{8}$ oraz $b - 2 = 3\sqrt{2}$.

1. Najpierw uprośćmy $\sqrt{8}$:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$,
więc mamy równanie:
$2a + b = 2\sqrt{2}$.

2. Przyjrzyjmy się wyrażeniu, które mamy obliczyć:
$b^2 + 2ab - 4a - 2b$.
Spróbujemy je sprytnie przekształcić, grupując wyrazy:
$b^2 + 2ab - 4a - 2b = (b^2 + 2ab) - (4a + 2b)$.

3. Teraz wyłączymy wspólne czynniki w nawiasach:
$b^2 + 2ab = b(b + 2a)$,
$4a + 2b = 2(2a + b)$.
Zatem:
$b^2 + 2ab - 4a - 2b = b(b + 2a) - 2(2a + b)$.

4. Zauważmy, że $b + 2a = 2a + b$, więc oba nawiasy zawierają ten sam czynnik $2a + b$:
$b(b + 2a) = b(2a + b)$.
Możemy więc zapisać:
$b^2 + 2ab - 4a - 2b = b(2a + b) - 2(2a + b)$.
Teraz wyłączamy wspólny czynnik $(2a + b)$ przed nawias:
$b(2a + b) - 2(2a + b) = (2a + b)(b - 2)$.

5. Teraz skorzystamy z danych z treści zadania:
$2a + b = 2\sqrt{2}$,
$b - 2 = 3\sqrt{2}$.
Podstawiamy do otrzymanego iloczynu:
$(2a + b)(b - 2) = (2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})$.

6. Obliczamy ten iloczyn krok po kroku:
$(2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$.

7. Zatem wartość całego wyrażenia jest równa:
$b^2 + 2ab - 4a - 2b = 12$.

Odpowiedź: $12$.