Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek $AB$ o końcach $A=(-7,4)$ i $B=(1,-2)$.
Chcemy wyznaczyć równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek $AB$ o końcach:
$A = (-7, 4)$ oraz $B = (1, -2)$.
1. Środek okręgu jest środkiem odcinka $AB$ (bo $AB$ jest średnicą).
Współrzędne środka odcinka o końcach $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$ liczymy ze wzorów:
$$S\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right).$$
Podstawiamy nasze punkty:
$$x_S = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3,$$
$$y_S = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$
Zatem środek okręgu ma współrzędne:
$$S = (-3, 1).$$
2. Promień okręgu jest równy połowie długości średnicy $AB$.
Najpierw obliczamy długość odcinka $AB$ ze wzoru na odległość między punktami:
$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$$
Podstawiamy:
$$x_B - x_A = 1 - (-7) = 8,$$
$$y_B - y_A = -2 - 4 = -6.$$
Zatem:
$$|AB| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.$$
Promień okręgu to połowa długości średnicy:
$$r = \frac{|AB|}{2} = \frac{10}{2} = 5.$$
3. Teraz zapiszemy równanie okręgu o środku $S = (-3, 1)$ i promieniu $r = 5$.
Ogólne równanie okręgu o środku $(x_0, y_0)$ i promieniu $r$ ma postać:
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.$$
Podstawiamy $x_0 = -3$, $y_0 = 1$, $r = 5$:
$$(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 5^2,$$
czyli:
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25.$
Odpowiedź: równanie szukanego okręgu ma postać:
$$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25.$$