Między cyfry dwucyfrowej liczby $k$ wpisano cyfrę $2$ i otrzymano liczbę dziewięć razy większą od $k$. Znajdź liczbę $k$.
Niech dwucyfrowa liczba będzie równa $k$. Oznaczmy jej cyfry: – cyfra dziesiątek: $a$, – cyfra jedności: $b$.
Wtedy liczba $k$ ma postać:
$\displaystyle k = 10a + b$,
gdzie $a \in {1,2,\dots,9}$, $b \in {0,1,\dots,9}$.
Między cyfry liczby $k$ wstawiamy cyfrę $2$, więc powstaje liczba o cyfrach $a,2,b$, czyli:
$\displaystyle 100a + 20 + b$.
Z treści zadania wiemy, że ta liczba jest dziewięć razy większa od $k$:
$\displaystyle 100a + 20 + b = 9k$.
Ponieważ $\displaystyle k = 10a + b$, podstawiamy:
$\displaystyle 100a + 20 + b = 9(10a + b)$.
Rozwijamy prawą stronę:
$\displaystyle 100a + 20 + b = 90a + 9b$.
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$\displaystyle 100a + 20 + b - 90a - 9b = 0$
$\displaystyle 10a + 20 - 8b = 0$.
Przekształcamy to równanie:
$\displaystyle 10a + 20 = 8b$
Dzielimy przez $2$:
$\displaystyle 5a + 10 = 4b$
Stąd:
$\displaystyle b = \frac{5a + 10}{4}$.
Szukamy takiej cyfry $a$, aby $\displaystyle b$ było cyfrą (czyli $\displaystyle b \in {0,1,\dots,9}$ i całkowite).
Otrzymujemy więc cyfrę jedności $b = 5$. Zatem:
$\displaystyle k = 10a + b = 10\cdot 2 + 5 = 25$.
Sprawdzamy warunek zadania:
Po wstawieniu cyfry $2$ między cyfry liczby $\displaystyle 25$ otrzymujemy liczbę $\displaystyle 225$.
Sprawdzamy, czy jest ona dziewięć razy większa od $k$:
$\displaystyle 9 \cdot 25 = 225$.
Warunek jest spełniony.