Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = 3x^2 - 2x -5$.
Mamy daną funkcję kwadratową:
$ f(x) = 3x^2 - 2x - 5 $.
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności (gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje), obliczamy pochodną funkcji:
$ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(3x^2 - 2x - 5) $.
Liczymy pochodną poszczególnych składników:
$ \dfrac{d}{dx}(3x^2) = 6x $,
$ \dfrac{d}{dx}(-2x) = -2 $,
$ \dfrac{d}{dx}(-5) = 0 $.
Zatem:
$ f'(x) = 6x - 2 $.
Teraz sprawdzamy, gdzie pochodna jest równa zero (punkt krytyczny):
$ 6x - 2 = 0 $.
$ 6x = 2 $.
$ x = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $.
Pochodna $f'(x)$ jest funkcją liniową rosnącą. Dlatego:
dla $x < \dfrac{1}{3}$ mamy $6x - 2 < 0$, czyli $f'(x) < 0$ – funkcja $f(x)$ jest malejąca,
dla $x > \dfrac{1}{3}$ mamy $6x - 2 > 0$, czyli $f'(x) > 0$ – funkcja $f(x)$ jest rosnąca.
Wnioski:
Funkcja $f(x) = 3x^2 - 2x - 5$:
– jest malejąca na przedziale $(-\infty,\ \dfrac{1}{3})$,
– jest rosnąca na przedziale $(\dfrac{1}{3},\ \infty)$.
Dla $x = \dfrac{1}{3}$ funkcja osiąga minimum (wierzchołek paraboli).