W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, punkt $E$ na $AC$, a $DE \parallel BC$.
Dane: $AB = 15$, $AD = 9$. Oblicz skalę podobieństwa trójkątów $\triangle ADE$ i $\triangle ABC$ oraz długość $DE$, jeśli $BC = 10$.
W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, punkt $E$ na $AC$, a $DE \parallel BC$. Dane: $AB = 15$, $AD = 9$, $BC = 10$.
Skoro $DE \parallel BC$, to trójkąty $\triangle ADE$ i $\triangle ABC$ są podobne (mają równe kąty).
Wynika z tego proporcja odpowiadających sobie boków:
$ \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} $.
Obliczamy stosunek odpowiadających sobie boków $AD$ i $AB$:
$ \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} $.
Skala podobieństwa trójkąta $\triangle ADE$ do trójkąta $\triangle ABC$ (tzn. jak bardzo trzeba powiększyć $\triangle ADE$, aby otrzymać $\triangle ABC$) jest równa:
$ k = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3} $.
Można też powiedzieć, że długości boków trójkąta $\triangle ADE$ stanowią $\dfrac{3}{5}$ odpowiednich boków trójkąta $\triangle ABC$.
Teraz obliczamy długość $DE$ korzystając z proporcji:
$ \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{5} $.
Mnożymy obustronnie przez $10$:
$ DE = 10 \cdot \dfrac{3}{5} = 2 \cdot 3 = 6 $.
Odpowiedzi:
– skala podobieństwa trójkątów $\triangle ADE$ i $\triangle ABC$ (ADE $\to$ ABC) wynosi $k = \dfrac{5}{3}$,
– długość odcinka $DE$ wynosi $DE = 6$.