Zadanie 63

Chcemy obliczyć pole trójkąta $ABC$ dla $A=(7,4)$, $B=(1,10)$, $C=(-2,1)$. Skorzystamy ze wzoru wektorowego (równoważnego „sznurowadłom”):

Krok 1. Oblicz wektory od punktu $A$:
$\overrightarrow{AB}=B-A=(1-7,\;10-4)=(-6,\;6)$,
$\overrightarrow{AC}=C-A=(-2-7,\;1-4)=(-9,\;-3)$.

Krok 2. Pole trójkąta to połowa modułu iloczynu wektorowego w $\mathbb{R}^2$ (skalar „$z$”):
$ S=\dfrac{1}{2}\,\big|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\big|=\dfrac{1}{2}\,\big|(-6)\cdot(-3)-6\cdot(-9)\big|$
$\phantom{S}=\dfrac{1}{2}\,|18+54|=\dfrac{1}{2}\cdot 72=36.$

Odpowiedź: $\,\boxed{36}$.