Zadanie 7

Przekątne prostokąta o bokach długości $3$ i $5$ przecinają się pod kątem, którego sinus możemy obliczyć korzystając ze wzoru na sinus kąta między wektorami.
Weźmy wektory $\vec{u}=(5,3)$ oraz $\vec{v}=(5,-3)$.
Mamy $ \vec{u}\cdot \vec{v}=5\cdot 5+3\cdot (-3)=25-9=16, $
$ |\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.
Zatem $ \cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$.
Stąd $ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\tfrac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{225}{289}}=\tfrac{15}{17} $.
Odpowiedź: $\sin\alpha=\tfrac{15}{17}$.