Suma trzech liczb $a, b, c$ tworzących ciąg geometryczny $(a_n)$ jest równa $14$, a ich iloczyn jest równy $64$. Wyznacz wartości $a, b, c$.
Mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: $a,b,c$ oraz warunki $a+b+c=14$ i $abc=64$.
Dla trzech kolejnych wyrazów GP środkowy jest średnią geometryczną skrajnych: $b^2=ac$, a produkt $abc=(\tfrac{b}{r})\cdot b \cdot (br)=b^3$, gdzie $r$ – iloraz. Stąd $b^3=64 \Rightarrow b=4$.
Z sumy: $\dfrac{b}{r}+b+br=14 \Rightarrow 4\!\left(\dfrac{1}{r}+1+r\right)=14 \Rightarrow r+\dfrac{1}{r}=\tfrac{5}{2}$.
Rozwiązujemy $r+\dfrac{1}{r}=\tfrac{5}{2} \Rightarrow r^2-\tfrac{5}{2}r+1=0 \Rightarrow 2r^2-5r+2=0 \Rightarrow r=\dfrac{5\pm3}{4}\in\{2,\tfrac{1}{2}\}$.
Dla $r=2$: $a=\dfrac{b}{r}=2, c=br=8 \Rightarrow (a,b,c)=(2,4,8)$.
Dla $r=\tfrac{1}{2}$: $a=\dfrac{b}{r}=8, c=br=2 \Rightarrow (a,b,c)=(8,4,2)$.