Obliczono średnią arytmetyczną kwadratów pięciu kolejnych liczb naturalnych. O ile ta średnia jest większa od kwadratu trzeciej co do wielkości liczby?
Krok 1: Oznaczmy pięć kolejnych liczb naturalnych: $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4$. Trzecią co do wielkości (środkową) jest $n+2$, więc jej kwadrat to $(n+2)^2$.
Krok 2: Średnia arytmetyczna ich kwadratów to $\overline{S}=\frac{n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2}{5}$.
Krok 3: Rozwińmy sumę: $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2=5n^2+20n+30=5(n^2+4n+6)$, zatem $\overline{S}=n^2+4n+6$.
Krok 4: Odejmujemy kwadrat liczby środkowej: $(n^2+4n+6)-(n+2)^2=(n^2+4n+6)-(n^2+4n+4)=2$.
Komentarz: Różnica nie zależy od $n$, dla każdych pięciu kolejnych liczb naturalnych średnia ich kwadratów jest większa od kwadratu środkowej dokładnie o $2$.