Zadanie 20

Skoro $f$ jest kwadratowa i przyjmuje wartości nieujemne tylko w przedziale $[-3,4]$, to musi mieć miejsca zerowe w $x=-3$ i $x=4$ oraz ramiona skierowane w dół. Zatem $f(x)=a(x+3)(x-4)$ z $a<0$.

Z warunku $f(0)=2$ mamy $2=a\cdot 3\cdot(-4)=a\cdot(-12)$, więc $a=-\tfrac{1}{6}$. Otrzymujemy $f(x)=-\tfrac16(x+3)(x-4)$.

Maksimum funkcji kwadratowej z ramionami w dół osiąga się w wierzchołku, czyli w połowie odległości między pierwiastkami: $x_v=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac12$.

Wartość maksymalna: $f\!\left(\dfrac12\right)=-\dfrac16\left(\dfrac12+3\right)\left(\dfrac12-4\right)=-\dfrac16\cdot\dfrac{7}{2}\cdot\left(-\dfrac{7}{2}\right)=\dfrac{49}{24}$.

Zatem największa wartość funkcji $f$ wynosi $\boxed{\dfrac{49}{24}}$.