Zadanie 24

Dla równania $x^2-3mx+2m^2-1=0$ suma pierwiastków to $S=3m$, a ich iloczyn $P=2m^2-1$.

Ponieważ $\Delta=(-3m)^2-4(1)(2m^2-1)=m^2+4>0$ dla każdego $m\in\mathbb{R}$, równanie ma zawsze dwa różne pierwiastki.

Warunek z treści: $S>P \Longleftrightarrow 3m>2m^2-1 \Longleftrightarrow 2m^2-3m-1<0$.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową: $2m^2-3m-1=0 \Longleftrightarrow m=\dfrac{3\pm\sqrt{9+8}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4}$.

Ponieważ ramiona paraboli są w górę, mamy $2m^2-3m-1<0$ dla $m\in\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\right) \approx (-0{,}2808,1{,}7808)$.

Odpowiedź: $m\in\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\right)$.