Zadanie 24

Rozwiązujemy równanie $2|x-1|-|x-2|=9$ dzieląc oś na przedziały względem punktów $1$ i $2$.

1) Dla $x<1$: $|x-1|=1-x$, $|x-2|=2-x$, więc $2(1-x)-(2-x)=-x$. Mamy $-x=9 \Rightarrow x=-9$ (spełnia $x<1$).

2) Dla $1\le x<2$: $|x-1|=x-1$, $|x-2|=2-x$, więc $2(x-1)-(2-x)=3x-4$. Mamy $3x-4=9 \Rightarrow 3x=13 \Rightarrow x=\tfrac{13}{3}$, co nie należy do $[1,2)$ – brak rozwiązań w tym przedziale.

3) Dla $x\ge 2$: $|x-1|=x-1$, $|x-2|=x-2$, więc $2(x-1)-(x-2)=x$. Mamy $x=9$ (spełnia $x\ge 2$).

Wynik: $x\in\{-9,\,9\}$.