Miara kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego jest o $2^\circ$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)$-kąta foremnego. Oblicz $n$.
Kąt wewnętrzny $m$-kąta foremnego ma miarę $\alpha_m=\dfrac{(m-2)\cdot180^\circ}{m}=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{m}$.
Z treści: kąt $n$-kąta jest o $2^\circ$ mniejszy od kąta $(n+2)$-kąta, więc $\alpha_{n+2}-\alpha_n=2^\circ$.
Podstawiamy wzór: $\left(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n+2}\right)-\left(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}\right)=2^\circ$.
Uproszczenie: $-\dfrac{360^\circ}{n+2}+\dfrac{360^\circ}{n}=2^\circ \Longrightarrow 360^\circ\!\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)=2^\circ$.
Różnica ułamków: $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{2}{n(n+2)}$, zatem $360^\circ\cdot\dfrac{2}{n(n+2)}=2^\circ \Longrightarrow \dfrac{720}{n(n+2)}=2$.
Mnożymy: $720=2n(n+2)\Longrightarrow n(n+2)=360\Longrightarrow n^2+2n-360=0$.
$\Delta=2^2+4\cdot360=1444=38^2$, więc $n=\dfrac{-2+38}{2}=18$ (drugi pierwiastek $-20$ odrzucamy).
Odpowiedź: $n=18$ (sprawdzenie: $\alpha_{18}=160^\circ$, $\alpha_{20}=162^\circ$, różnica $2^\circ$).