Zadanie 50

Mamy prostokąt o całkowitych bokach $a,b\in\mathbb{N}$ i obwodzie $30$.

Krok 1. Z warunku na obwód:
$2(a+b)=30 \Rightarrow a+b=15$.

Krok 2. Pole prostokąta to $S=ab$. Przy ustalonej sumie $a+b=15$ iloczyn $ab$ jest największy, gdy liczby są jak najbliższe sobie.
Ponieważ $15$ jest nieparzyste, najbliższa para całkowita to $7$ i $8$.

Krok 3. Sprawdzenie pól dla sąsiadujących par (maleje symetrycznie):
$(7,8)\Rightarrow S=7\cdot 8=56$,
$(6,9)\Rightarrow S=54$, $(5,10)\Rightarrow S=50$, itd.
Maksimum daje para $(7,8)$.

Odpowiedź: Maksymalne pole wynosi $\boxed{56}$ i jest osiągane dla boków $7$ i $8$.