W trójkącie równoramiennym kat przy podstawie ma miarę $30^\circ$. Oblicz pole trójkąta, jeśli wiadomo, że jego obwód jest równy $20 + 10\sqrt{3}$.
Dany jest trójkąt równoramienny, w którym kąty przy podstawie mają po $30^\circ$, więc kąt wierzchołkowy ma $120^\circ$. Niech ramiona (równe boki) mają długość $a$, a podstawa $b$.
Krok 1. Związek między $a$ i $b$ (tw. cosinusów dla kąta $120^\circ$):
$,b^2 = a^2 + a^2 - 2a\cdot a \cos 120^\circ = 2a^2 - 2a^2\left(-\tfrac12\right) = 3a^2,$, zatem $,b = a\sqrt{3}$.
Krok 2. Obwód jest równy $20 + 10\sqrt{3}$:
$P = 2a + b = 2a + a\sqrt{3} = a(2+\sqrt{3}) = 20 + 10\sqrt{3}$.
Stąd $,a = \dfrac{20 + 10\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$. Pomnóż licznik i mianownik przez $,2-\sqrt{3}$:
$a = (20 + 10\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 40 - 30 + (-20\sqrt{3} + 20\sqrt{3}) = 10$.
Wtedy $,b = a\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Krok 3. Pole trójkąta. Można użyć wzoru $S = \tfrac12 ab\sin\gamma$ dla ramion $a,a$ i kąta $120^\circ$:
$S = \tfrac12 a^2 \sin 120^\circ = \tfrac12 \cdot 100 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$.
(Alternatywnie: $S = \tfrac12 \cdot b \cdot h$, gdzie wysokość $h = a\sin 30^\circ = 10\cdot \tfrac12 = 5$, więc $S = \tfrac12 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}$.)