Uzasadnij, że nie istnieje kąt ostry $\alpha$ spełniający warunki $\cot\alpha = 4\sqrt{2}, \cos\alpha = 0.8$.
Mamy rzekomo ostry kąt $\alpha$ spełniający jednocześnie warunki: $\cot\alpha = 4\sqrt{2}$ oraz $\cos\alpha = 0{,}8$. Pokażemy, że to niemożliwe.
Krok 1. Z warunku $\cos\alpha=0{,}8$ wyznacz $\sin\alpha$ z tożsamości Pitagorasa:
$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \Rightarrow (0{,}8)^2+\sin^2\alpha=1 \Rightarrow 0{,}64+\sin^2\alpha=1 \Rightarrow \sin^2\alpha=0{,}36$,
a ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha>0$, więc $\sin\alpha=0{,}6$.
Krok 2. Oblicz $\cot\alpha$ z otrzymanych wartości $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$:
$\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333\ldots$
Tymczasem w treści zadania $\cot\alpha$ ma być równe $4\sqrt{2}\approx 5{,}656\ldots$ — sprzeczność.
(Alternatywnie) Krok 2'. Z $\cot\alpha=4\sqrt{2}$ mamy $\cos\alpha=4\sqrt{2},\sin\alpha$. Podstawiając do $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$:
$(4\sqrt{2},\sin\alpha)^2+\sin^2\alpha=1 \Rightarrow 32\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=1 ;\Rightarrow; 33\sin^2\alpha=1$,
$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{33}}\approx 0{,}174$, a wtedy $\cos\alpha=4\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{33}}\approx 0{,}986\neq 0{,}8$ — znów sprzeczność.
Wniosek: Nie istnieje kąt ostry $\alpha$ spełniający jednocześnie $\cot\alpha=4\sqrt{2}$ i $\cos\alpha=0{,}8$.