Zadanie 51

Szukamy $x,y\in\mathbb{R}$ takich, że $x+y=12$, a suma kwadratów $x^2+y^2$ jest najmniejsza.

Krok 1. Zastąp $y$ przez $12-x$ i zdefiniuj funkcję celu:
$f(x)=x^2+(12-x)^2 = x^2+144-24x+x^2=2x^2-24x+144$.

Krok 2. Zminimalizuj kwadratowe $f(x)$ (wierzchołek parabolii):
$f'(x)=4x-24$, więc $f'(x)=0 \Rightarrow x=6$.
Wtedy $y=12-x=6$.

Krok 3. Wartość minimalna sumy kwadratów:
$x^2+y^2=6^2+6^2=72$.

Odpowiedź: Najmniejszą sumę kwadratów otrzymujemy dla $x=6$, $y=6$, a wartość minimalna wynosi $72$.