Na boku $AB$ trójkąta równobocznego $ABC$ wybrano punkt $D$ taki, że $|AD| : |DB| = 2:3$. Oblicz tangens kąta $ACD$.
Niech trójkąt równoboczny $ABC$ ma bok długości $5$ (wygodnie, bo $|AD|:|DB|=2:3$). Ustawmy układ współrzędnych: $A=(0,0)$, $B=(5,0)$, a $C=\left(\tfrac{5}{2},\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ (wysokość trójkąta równobocznego o boku $5$ to $\tfrac{5\sqrt{3}}{2}$). Punkt $D$ leży na $AB$ i spełnia $|AD|=2$, zatem $D=(2,0)$.
Szukamy $\tan\angle ACD$. To kąt między wektorami wychodzącymi z punktu $C$: $,\overrightarrow{CA}=A-C$ oraz $\overrightarrow{CD}=D-C$.
$\overrightarrow{CA}=\left(-\tfrac{5}{2},-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{CD}=\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)$.
Korzystamy ze wzoru na tangens kąta między wektorami $u,v$:
$\displaystyle \tan\theta=\frac{|u\times v|}{u\cdot v}$ (w 2D $|u\times v|=|x_uy_v-y_ux_v|$).
Obliczamy iloczyn „wektorowy” (skalar wielkości z):
$\displaystyle |,\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CD}|=\left| \left(-\tfrac{5}{2}\right)\left(-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)-\left(-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right)\right|=\left|\tfrac{25\sqrt{3}}{4}-\tfrac{5\sqrt{3}}{4}\right|=5\sqrt{3}$.