Zadanie 53

Chcemy wykazać, że dla dowolnych liczb całkowitych $k,m$ liczba $k^3m - km^3$ jest podzielna przez $6$. Wystarczy pokazać podzielność przez $2$ i przez $3$.

Krok 1. Podzielność przez $2$.
$k^3m - km^3 = km\,(k^2 - m^2) = km\,(k-m)(k+m)$.

Jeśli przynajmniej jedna z liczb $k,m$ jest parzysta, to $km$ jest parzyste, więc cały iloczyn jest parzysty.

Jeśli obie są nieparzyste, to $k-m$ i $k+m$ są parzyste (suma i różnica dwóch nieparzystych), więc iloczyn także jest parzysty.

W każdym przypadku wyrażenie jest podzielne przez $2$.

Krok 2. Podzielność przez $3$.

Dla każdej liczby całkowitej $a$ zachodzi kongruencja $a^3 \equiv a \pmod{3}$. Zatem

$k^3m - km^3 \equiv (k\,m) - (k\,m) \equiv 0 \pmod{3}$.

Wyrażenie jest więc zawsze podzielne przez $3$.

Krok 3. Wniosek.

Skoro $k^3m - km^3$ jest podzielne przez $2$ i przez $3$, to jest podzielne przez $6$:

$6 \mid \bigl(k^3m - km^3\bigr)$.

Odpowiedź: dla każdych liczb całkowitych $k,m$ liczba $k^3m - km^3$ jest podzielna przez $6$.