Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których liczba $1$ jest jedynym całkowitym pierwiastkiem wielomianu $W(x) = mx^3 + x^2 + (m^2 - 9)x + m $.
Warunek $W(1)=0$ daje: $m\cdot 1^3+1^2+(m^2-9)\cdot 1+m=m^2+2m-8=(m-2)(m+4)=0$, więc $m\in\{2,-4\}$.
Sprawdzamy każdy przypadek.
Dla $m=2$: $W(x)=2x^3+x^2-5x+2=(x-1)(x+2)(2x-1)$, zatem poza $x=1$ mamy jeszcze całkowity pierwiastek $x=-2$ — odpada.
Dla $m=-4$: $W(x)=-4x^3+x^2+7x-4=-(x-1)(4x^2+3x-4)$.
Równanie $4x^2+3x-4=0$ ma wyróżnik $D=3^2+4\cdot4\cdot4=73$, który nie jest kwadratem, więc brak innych całkowitych pierwiastków.
Zatem $1$ jest jedynym całkowitym pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy $m=-4$.