W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa $40$, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $10$. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Oznaczmy trójkąt równoramienny $ABC$, gdzie $AB=AC$ są ramionami, a $BC$ podstawą.
Niech $AD$ będzie wysokością z wierzchołka $A$ na podstawę $BC$, $AD=40$, a $BD=DC=x$. Wtedy $BC=2x$, a ramiona $AB=AC=\sqrt{x^2+40^2}=\sqrt{x^2+1600}$.
Pole trójkąta: $P=\tfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AD = \tfrac{1}{2}\cdot 2x \cdot 40 = 40x$.
Z warunku na promień okręgu wpisanego $r=10$ mamy $P=r\cdot p$, gdzie $p$ to półobwód.
Stąd $40x=10p \implies p=4x$. Z definicji półobwodu: $p=\tfrac{BC+2AB}{2}=x+\sqrt{x^2+1600}$.
Otrzymujemy równanie: $x+\sqrt{x^2+1600}=4x \implies \sqrt{x^2+1600}=3x$.
Podnosząc do kwadratu: $x^2+1600=9x^2 \implies 8x^2=1600 \implies x^2=200 \implies x=10\sqrt{2}$.
Zatem $BC=20\sqrt{2}$, a $AB=AC=\sqrt{200+1600}=\sqrt{1800}=30\sqrt{2}$.
Pole $P=40x=40\cdot 10\sqrt{2}=400\sqrt{2}$.
Promień okręgu opisanego: $R=\tfrac{abc}{4P}=\tfrac{(20\sqrt{2})(30\sqrt{2})(30\sqrt{2})}{4\cdot 400\sqrt{2}}=\tfrac{54000\sqrt{2}}{1600\sqrt{2}}=\tfrac{54000}{1600}=33.75=\tfrac{135}{4}$.
Ostatecznie boki trójkąta to $20\sqrt{2},\;30\sqrt{2},\;30\sqrt{2}$, a promień okręgu opisanego wynosi $\tfrac{135}{4}$.