Zadanie 15

Krok 1: Z definicji $m=\log_2 9=\log_2(3^2)=2\log_2 3$, więc $\log_2 3=\frac{m}{2}$.
Komentarz: wyraziliśmy $\log_2 3$ przez $m$, co będzie potrzebne do zmiany podstawy.

Krok 2: Zauważmy, że $108=27\cdot 4=3^3\cdot 2^2$, zatem $\log_2 108=\log_2(3^3\cdot 2^2)=\log_2(3^3)+\log_2(2^2)=3\log_2 3+2=3\cdot\frac{m}{2}+2=\frac{3m}{2}+2$.
Komentarz: użyliśmy własności logarytmu iloczynu i potęgi.
Krok 3: Zmiana podstawy logarytmu: $\log_3 108=\dfrac{\log_2 108}{\log_2 3}=\dfrac{\frac{3m}{2}+2}{\frac{m}{2}}$.
Krok 4: Uporządkujmy ułamek: $\dfrac{\frac{3m}{2}+2}{\frac{m}{2}}=\dfrac{3m+4}{m}$.
Wniosek: $\log_3 108=\dfrac{3m+4}{m}$.