Zadanie 16

Krok 1: Oznaczmy daną przyprostokątną przez $a=2+\sqrt{2}$ oraz kąt przy niej leżący przez $\theta$.
W trójkącie prostokątnym $\cos\theta=\dfrac{\text{przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}=\dfrac{a}{c}$, więc $c=\dfrac{a}{\cos\theta}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{\,2-\sqrt{2}\,}=\dfrac{(2+\sqrt{2})^2}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\dfrac{6+4\sqrt{2}}{2}=3+2\sqrt{2}$.
Komentarz: usunęliśmy ułamek przez pomnożenie przez sprzężenie $(2+\sqrt{2})$.
Krok 2: Druga przyprostokątna z Pitagorasa: $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3+2\sqrt{2})^2-(2+\sqrt{2})^2}=\sqrt{(17+12\sqrt{2})-(6+4\sqrt{2})}=\sqrt{11+8\sqrt{2}}$.
Krok 3: Pole trójkąta: $P=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{2})\sqrt{11+8\sqrt{2}}$.
Komentarz (równoważna postać): korzystając z $\tan\theta=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\cos\theta}$ oraz $P=\tfrac12 a^2\tan\theta$, otrzymujemy też $P=(3+2\sqrt{2})\sqrt{\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}}$ — identyczny wynik.
Odpowiedź: $P=\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{2})\sqrt{11+8\sqrt{2}}$.