Wyznacz resztę z dzielenia kwadratu liczby $a$ przez $13$, jeśli liczba $a$ przy dzieleniu przez $13$ daje resztę $3$.
Krok 1: Skoro $a$ przy dzieleniu przez $13$ daje resztę $3$, to zapisujemy $a=13k+3$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.
Komentarz: To standardowy zapis kongruencji $a\equiv 3 \pmod{13}$.
Krok 2: Podnosimy do kwadratu: $a^2=(13k+3)^2=169k^2+78k+9$.
Krok 3: Wyłączamy wielokrotność $13$: $a^2=13\,(13k^2+6k)+9$.
Komentarz: Część $13\,(13k^2+6k)$ dzieli się przez $13$, więc nie wpływa na resztę z dzielenia przez $13$.
Krok 4: Zatem $a^2\equiv 9 \pmod{13}$, czyli reszta z dzielenia $a^2$ przez $13$ wynosi $9$.