Zadanie 18

Krok 1: Dla $n>2$ mamy $a_n=\sqrt{n^2-n}$ oraz $a_{n+1}=\sqrt{(n+1)^2-(n+1)}=\sqrt{n^2+n}$.
Obie liczby podpierwiastkowe są dodatnie, więc wyrażenia są dobrze określone.

Krok 2: Porównamy kolejne wyrazy, licząc różnicę i usuwając pierwiastki przez sprzężenie: $a_{n+1}-a_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}=\frac{(n^2+n)-(n^2-n)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}$.
Komentarz: Licznik to $2n>0$ dla $n>0$, a mianownik jest sumą dwóch dodatnich pierwiastków, więc jest dodatni.

Krok 3: Zatem $a_{n+1}-a_n>0$ dla każdego $n>2$, co oznacza, że ciąg jest ściśle rosnący.

Wniosek: Ciąg $(a_n)$ określony przez $a_n=\sqrt{n^2-n}$ dla $n>2$ jest ściśle rosnący.