Krok 1. Dziedzina.
Mianownik nie może być zerem:
$$x\ne 1.$$
Krok 2. Rozpatrujemy przypadki ze względu na wartość bezwzględną.
Rozważamy dwa przypadki.
Przypadek 1: $x-2\ge 0$, czyli $x\ge 2$.
Wtedy
$$|x-2|=x-2,$$
więc nierówność ma postać:
$$\frac{x-2}{x-1}\ge 1.$$
Przenosimy na jedną stronę:
$$\frac{x-2}{x-1}-1\ge 0,$$
$$\frac{x-2-(x-1)}{x-1}\ge 0,$$
$$\frac{-1}{x-1}\ge 0.$$
Ułamek jest nieujemny, gdy licznik i mianownik mają ten sam znak lub licznik jest zerem. Tu licznik jest ujemny, więc mianownik też musi być ujemny:
$$x-1<0,$$
$$x<1.$$
Warunki:
$$x\ge 2 \quad \text{i} \quad x<1$$
są sprzeczne, więc brak rozwiązań.
Przypadek 2: $x-2<0$, czyli $x<2$.
Wtedy
$$|x-2|=-(x-2)=-x+2,$$
więc:
$$\frac{-x+2}{x-1}\ge 1.$$