Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość $8$ oraz $|\angle BAC| = 30^\circ$. Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.
Dany trójkąt równoramienny ma podstawę $AB=8$ i kąt przy wierzchołku $A$: $|\angle BAC|=30^\circ$. Ponieważ podstawa to $AB$, mamy $AC=BC$, a zatem kąty przy podstawie są równe: $\angle A=\angle B=30^\circ$, więc $\angle C=120^\circ$.
Z tw. sinusów: $\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, gdzie $a=|BC|$, $b=|CA|$, $c=|AB|=8$, oraz $\sin 30^\circ=\tfrac12$, $\sin 120^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$.
Stąd dla $c$:
$\displaystyle \frac{c}{\sin C}=\frac{8}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{16}{\sqrt3}$.
Zatem
$\displaystyle a=b=\left(\tfrac12\right)!\cdot\frac{16}{\sqrt3}=\frac{8}{\sqrt3}$.
Szukamy długości środkowej $AD$ do boku $BC$. Korzystamy ze wzoru na środkową z wierzchołka $A$:
$AD=m_a=\frac12\sqrt{\frac{448}{3}} =\frac12\cdot 8\sqrt{\frac{7}{3}} =4\sqrt{\frac{7}{3}} =\frac{4\sqrt{21}}{3}. $