Wykaż, że równanie $x^8 + x^2 = 2(x^4 + x + 1)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x = 1$.
Chcemy rozwiązać równanie $x^8 + x^2 = 2(x^4 + x + 1).$ Przenieśmy $2$ na lewą stronę, aby móc zastosować nierówność AM–GM do par $(x^8,1)$ i $(x^2,1)$: $x^8 + x^2 + 2 = 2(x^4 + x + 1).$
Z nierówności arytmetyczno-geometrycznej (AM–GM) mamy dla dowolnego $t\ge 0$: $t + 1 \ge 2\sqrt{t}.$ Stosując to do $t=x^8$ i $t=x^2$ otrzymujemy: $x^8 + 1 \ge 2x^4,\qquad x^2 + 1 \ge 2x.$ Dodając stronami te dwie nierówności, dostajemy $x^8 + x^2 + 2 \ge 2x^4 + 2x + 2 = 2(x^4 + x + 1).$
Porównując z równaniem $x^8 + x^2 + 2 = 2(x^4 + x + 1)$ widzimy, że równość w AM–GM musi zachodzić jednocześnie w obu krokach. Warunki równości: $x^8 + 1 = 2x^4 \Longleftrightarrow x^4=1,$ $x^2 + 1 = 2x \Longleftrightarrow (x-1)^2=0 \Longleftrightarrow x=1.$ Te dwa warunki jednocześnie spełnia tylko $x=1$ (bo z $x^4=1$ mamy $x\in\{-1,1\}$, a drugi wymusza $x=1$).
Wniosek: Równanie $x^8 + x^2 = 2(x^4 + x + 1)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, i jest nim $\boxed{x=1}.$