Ułamki dziesiętne

Kiedy wykonujemy obliczenia arytmetyczne, często posługujemy się ułamkami dziesiętnymi i trudno dziś wyobrazić sobie czasy, kiedy w użyciu były tylko ułamki zwykłe. Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Odzielenie przecinkiem całości od częsci dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Ułamek dziesiętny to zapis liczby rzeczywistej postaci ułamka zwykłego, którego mianownik jest potęgą liczby 10.

Budowa ułamka dziesiętnego

Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, ale specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny (w krajach anglosaskich kropka), który oddziela część całkowitą liczby od części ułamkowej.
$12,3456$

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysiączne itd.

Jeżeli liczba jest mniejsza od jedności, to na jej początku piszemy zero i oddzielamy je przecinkiem od częsci ułamkowej.

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci dziesiętnej, można podzielić jego licznik przez mianownik lub jeśli to możliwe rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z liczb 10, 100, 1000 itd., a następnie zapisać go bez kreski ułamkowej.

Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe

Zamiana rozwinięcia dziesiętnego skończonego na ułamek jest oczywista:
$0,7 = \frac{7}{10}$
$0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$

Aby zamienić ułamek dziesiętny okresowy na ułamek zwykły należy postępować według schematu:
0.(81) = ?
Przesuwamy przecinek do początku okresu
x = 0,8181...
Mnożymy obustronnie przez taką liczbę, która spowoduje przesunięcie okresu do części całkowitej
100x = 81,8181...
Części po przecinku zredukują się wzajemnie
100x - x = 81,8181... - 0,8181
Otrzymujemy równanie 99x = 81, które rozwiązujemy:
$x = \frac{81}{99} = \frac{9}{11}$

Rozwinięcie dziesiętne skończone i nieskończone
Działania na ułamkach dziesiętnych

Ułamki dziesiętne

Matematyka