Konkurs Alfa
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Wiadomo艣膰 |
tumor post贸w: 8070 |  2015-10-15 20:43:36Osobi艣cie sprawdzi艂em w drug膮 stron臋, bior膮c tangens szybciej sprawdzi艂em, czy sinx i cosx dadz膮 odpowiednie r贸wnanie. Oczywi艣cie logicznie troch臋 oszuka艂em. Najszybciej do g艂owy przychodzi spos贸b z rozwi膮zaniem uk艂adu r贸wna艅 i wyliczeniem sinx i cosx. Ale na dobr膮 spraw臋 nie trzeba. W tr贸jk膮cie o przyprostok膮tnych a,b dla pewnego k膮ta ostrego jest $sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $tg\alpha=\frac{a}{b}$ Mo偶emy oczywi艣cie potraktowa膰 te zwi膮zki jak definicj臋 funkcji dowolnego k膮ta skierowanego wyznaczonego przez punkt $P=(a,b)\neq (0,0)$, ale mniejsza o to. Podstawiaj膮c do r贸wnania mamy $\frac{3a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{4b}{\sqrt{a^2+b^2}}=5$ A po pomno偶eniu przez mianownik i podniesieniu stronami do kwadratu i przeniesieniu na jedn膮 stron臋 jest $16a^2-24ab+9b^2=0$ czyli $(4a-3b)^2=0$ $4a=3b$ $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$ ---- Zadanie z trapezem nie wymaga艂o wiedzy o 艣rednich. Odcinek ma d艂ugo艣膰 x i z samego podobie艅stwa trapez贸w jest $\frac{15}{x}=\frac{x}{20}$ |
robert71231 post贸w: 23 | 2015-10-15 20:46:33 Mo偶na by艂o zauwa偶y膰, 偶e dane r贸wnanie jest spe艂nione dla funkcji trygonometrycznych tr贸jk膮ta prostok膮tnego o bokach 3,4,5 i k膮cie alfa le偶膮cym naprzeciwko kr贸tszej przyprostok膮tnej. |
panrafal post贸w: 174 | 2015-10-15 21:20:53 No dobra, dzi臋ki. |
Szymon post贸w: 657 | 2015-11-12 20:47:25 Jak policzy膰 zadanie 4. z dzisiejszego konkursu? |
aididas post贸w: 279 | 2015-11-12 21:48:53 Ja to bior臋 na czuja, w zasadzie jak ka偶de prawdopodobie艅stwa i kombinatoryki. No to dla wygody orientacji okr膮g por贸wnajmy do tarczy zegara. A wi臋c na pocz膮tek dajmy punkt na okr膮g i przekr臋膰my okr膮g tak, by punkt znajdowa艂 si臋 na dwunastej. Mo偶na tak zrobi膰 zawsze, wi臋c tutaj nie ma 偶adnych ogranicze艅 w prawdopodobie艅stwie. Dalej przeanalizujmy jakie b臋dziemy mieli mo偶liwo艣ci do ustawienia trzeciego punktu, je艣li najpierw ustawimy drugi punkt. Dajmy na to, 偶e drugi punkt ustawiamy bardzo blisko pierwszego, niemal偶e te偶 na dwunastej. W贸wczas mamy do dyspozycji ca艂y okr膮g. Czyli jakby wybiera膰 losowo miejsce dla tego trzeciego punktu, to mamy $\frac{1}{1}$ szans, 偶e trafimy. Dalej ustawiaj膮c drugi punkt coraz dalej od dwunastej, w kierunku pierwszej, drugiej, i a偶 do sz贸stej, zakres dla kt贸rego mo偶emy usadowi膰 trzeci punkt zmniejsza si臋 liniowo. I tak gdy mamy drugi punkt bardzo blisko sz贸stej, to trzeci mo偶emy umiejscowi膰 w po艂owie okr臋gu. Losowo wybieraj膮c miejsce dla trzeciego punktu jest prawdopodobie艅stwo $\frac{1}{2}$, 偶e b臋dzie ok. Tak wi臋c kompromisem b臋dzie prawdopodobie艅stwo pomi臋dzy skrajnymi mo偶liwo艣ciami, a wi臋c pomi臋dzy $\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{1}$. I tak nasuwa si臋 rozwi膮zanie $\frac{3}{4}$. Jest to te偶 prawdopodobie艅stwo, gdy losowo b臋dzie dobrze ustawiony trzeci punkt, maj膮c pierwszy na dwunastej, a drugi na trzeciej. W贸wczas do dyspozycji mamy obszar okresu od dziewi膮tej, poprzez dziesi膮t膮, dwunast膮 a偶 do sz贸stej. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-13 22:46:03 przez aididas |
Mariusz 艢liwi艅ski post贸w: 489 | 2015-11-12 22:18:46 Zdanie z kategorii fajne. Rozwi膮zanie geometryczne, ci臋偶ko zobrazowa膰 bez rysunk贸w, ale spr贸buj臋. Oznaczmy punkty przez $A, B, C$. Poprowad藕my dwie 艣rednice, jedna to $AA\'$, druga to $BB\'$ i przyjmijmy, 偶e d艂ugo艣膰 okr臋gu wynosi 1. Je艣li punkty $A$ i $B$ b臋d膮 pokrywa艂y si臋, punkt $C$ mo偶e le偶e膰 gdziekolwiek z jednym wyj膮tkiem, kt贸ry dla prawdopodobie艅stwa nie ma znaczenia. Rozpatrzmy wi臋c r贸偶ne po艂o偶enia punktu $B$ wzgl臋dem punktu $A$. Obracaj膮c 艣rednic膮 $BB\'$, punkty $A\'B\'$ wyznaczaj膮 nam 艂uk o k膮cie 艣rodkowym wkl臋s艂ym, na kt贸rym mo偶e le偶e膰 punkt $C$, aby warunek le偶enia trzech punkt贸w po jednej stronie prostej by艂 spe艂niony. Niech pe艂en obr贸t punktu $B$ wyznacza odcinek jednostkowy [0-1]. Dla ka偶dego argumentu (liczby rzeczywistej) z tego przedzia艂u otrzymujemy pewne prawdopodobie艅stwo, kt贸re r贸wne jest d艂ugo艣ci 艂uku $A\'B\'$, o kt贸rym wy偶ej mowa. Nanosz膮c to na uk艂ad wsp贸艂rz臋dnych, otrzymujemy obszar o powierzchni 3/4. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-12 22:21:17 przez Mariusz 艢liwi艅ski |
Szymon post贸w: 657 | 2015-11-13 08:12:19 Dzi臋kuj臋 za oba r贸wnie dobre rozwi膮zania. Teraz ju偶 ca艂kowicie rozumiem jak rozwi膮za膰 to, jak si臋 okaza艂o faktycznie z kategorii fajne, zadanie :) |
gaha post贸w: 136 | 2015-11-13 22:09:23 Swoj膮 drog膮 - Tomasz w swoim rozwi膮zaniu pomyli艂 dwa fakty, ale nie zmieniaj膮 one wyniku ani sensu rozumowania. Im dalej od siebie umie艣cimy dwa pierwsze punkty, tym prawdopodobie艅stwo bardziej zbli偶a si臋 do 1/2, a nie do 1, jak napisa艂 Tomasz. Prawdopodobie艅stwo zbli偶a si臋 do 1, gdy punkty s膮 coraz bli偶ej siebie. :) |
aididas post贸w: 279 | 2015-11-13 22:48:06 A, czujne oko gahy :D Poprawi艂em tre艣膰, ju偶 jest ok. |
Mariusz 艢liwi艅ski post贸w: 489 | 2015-11-19 20:43:26 Dobry wiecz贸r, S膮 trzy poprawne rozwi膮zania. Prosz臋 sprawdzi膰 swoje odpowiedzi raz jeszcze. W razie w膮tpliwo艣ci prosz臋 poda膰 na PW lub tu sw贸j klucz, a ja wska偶臋 b艂膮d. Jest jedno rozwi膮zanie, z pierwsz膮 poprawn膮 odpowiedz膮 A, nikt go nie znalaz艂. Gdyby komu艣 si臋 nudzi艂o, mo偶ne pog艂贸wkowa膰 i poda膰 ten klucz tu na forum. |
| strony: 1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj